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数字信号处理试题选讲B

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数字信号处理选讲 B 一、 填空题(每题 2 分,共 10 题) 1、 对模拟信号(一维信号,是时间的函数)进行采样后,就是时域离散信号,再进行幅度 量化后就是数字信号。

2、 FT [ x(n)] = X (e ) jω , 用 x(n) 求 出 Re[ X (e jω )] 对 应 的 序 列 为 1 xe (n) = [ x(n) + x* (−n)] 。

2 3、序列 x(n) 的N点DFT是 x(n) 的Z变换在 单位圆上 的N点等间隔采样。

4、 x1 = R4 (n) x 2 = R5 (n) ,只有当循环卷积长度 L ≥ 8 时,二者的循环卷积等于线性 卷计。

5、用来计算N=16 点DFT,直接计算需要_________(N2 =16×16=256)次复乘法, 采用基 2FFT 算法,需要 ________ ( N N log 2 = 8 × 4 = 32 )次复乘法,运算效率为 2 ___( N2 N N log 2 2 = 2N =32÷4=8) N log 2 kn , (将较大N点DFT分解 6、FFT利用( WN 的对称性,周期性和特殊值减少乘法运算次数) 为若干小点DFT的组合)来减少运算量 7、数字信号处理的三种基本运算是:(乘法,加法,单位延迟) h(0) = h(5) = 1.5 8、FIR滤波器的单位取样响应 h(n) 是圆周偶对称的,N=6, h(1) = h(4) = 2 h(2) = h(3) = 3 ,其幅 度特性有什么特性? (关于 ω =π 奇对称) 相位有何特性? (A类线性相位 θ (ω ) = −ω N −1 = −2.5ω ) 2 1 1 − ∑ ak z K =1 N −k 9、数字滤波网络系统函数为 H ( z ) = ,该网络有 N 条反馈支路。

10、 用脉冲响应不变法将 H a ( s ) 转换为 H ( Z ) , 若 H a ( s ) 只有单极点 sk , 则系统 H ( Z ) 稳

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定的条件是 e 0.1s k < 1 (取 T = 0.1s ) 。

二、 选择题(每题 3 分,共 6 题) n π j( − ) 3 6 1、 x ( n ) = e ,该序列是A。

B.周期 N = n A.非周期序列 π 6 C.周期 N = 6π D. 周期 N = 2π 2、 序列 x(n) = − a u (−n − 1) ,则 X ( Z ) 的收敛域为A。

A. Z < a 3、 对 x ( n ) B. Z ≤ a C. Z > a D. Z ≥ a (0 ≤ n ≤ 7) 和 y (n) (0 ≤ n ≤ 19) 分 别 作 20 点 DFT , 得 X (k ) 和 Y (k ) , F (k ) = X (k ) ⋅ Y (k ), k = 0, 1,L19 , f (n) = IDFT[ F (k )], n = 0, 1,L19 ,n在 B 范 围内时, f (n) 是 x(n) 和 y (n) 的线性卷积。

A. 0 ≤ n ≤ 7 B. 7 ≤ n ≤ 19 C. 12 ≤ n ≤ 19 D. 0 ≤ n ≤ 19 4、 x1 (n) = R10 (n) ,x2 (n) = R7 (n) , 用DFT计算二者的线性卷积, 为使计算量尽可能的少, 应使DFT的长度N满足 B 。

A. N > 16 B. N = 16 C. N < 16 D. N ≠ 16 5、已知某线性相位FIR滤波器的零点Zi , 则下面那些点仍是该滤波器的零点 (ABC) A ZI* B 1 / ZI* C 1 / Zi D 0 6、在IIR数字滤波器的设计中,用 B 方法只适合于片断常数特性滤波器的设计。

A.脉冲响应不变法 B.双线性变换法 C.窗函数法 D.频率采样法 三、 分析问答题(每题 5 分,共 2 题) 1、 已知 x(n) = ⎨ ⎧ β n − n0 ⎩ 0 n0 ≤ n n > n0 , h( n) = ⎨ ⎧α n ⎩0 0≤n< N 其它 , y (n) 是 h(n) 和 x(n) 的线性卷 积,讨论关于 y (n) 的各种可能的情况。

答: ①当 n < n0 时, y (n) = 0 ; ②当 n0 < n < n0 + N − 1 时, y (n) = α n β −n 0 k = n0 ∑ (β ⋅ α n −1 k ) , 若α ≠ β , y ( n) = α n−n 0 − β n − n 0 +1 , α −β +1 n − n0 若 α = β , y ( n) = ( n − n0 + 1)α ;

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③当 n > n0 + N − 1 时, y ( n) = α n β − n0 k = n − N +1 ∑ (β ⋅ α n −1 k ) 若α ≠ β , y ( n) = β n − n 0 − N +1 αN −βN , α −β 若 α = β , y ( n ) = Nα n − n0 。

2、 加有限窗截断序列引起的截断效应对谱分析的影响主要表现在哪些方面,如何减弱? 答:截断效应对谱分析的影响主要表现在泄露和谱间干扰。

采用旁瓣小的窗函数可以减小谱间干扰,再通过增加截取长度 N 可使主瓣变窄, 减小泄露,提高谱分辨率。

四、 画图题(每题 8 分,共 2 题) x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) A(6) A(0) A(0) A(0) 1、已知有限序列的长度为 8,试画出基 2 时域 FFT 的蝶形图,输出为顺序。

x(0) x(1) A(1) . 0 WN A(1) . 0 WN A(1) A(2) A(2) A(3) W . 0 N . A(2) . . W 0 N x(2) x(3) x(4) x(5) A(3) 2 WN A(3) A(4) A(4) A(4) A(5) . 0 WN . . A(5) . W 0 N A(5) 2 WN A(6) A(7) . 0 WN . A(6) 3 WN x(6) x(7) A(7) 2 WN A(7) 4 WN 2、已知滤波器单位取样响应为 h(n) = ⎨ z −1 z −1 ⎧0.2 n ,0 ≤ n ≤ 5 ,求其直接型结构流图。

⎩ 0, 其它 z −1 z −1 z −1 h(0) h(1) h( 2) h(3) h( 4) h(5) 五、 计算证明题(每题 9 分,共 4 题) 1、 对实信号进行谱分析,要求谱分辨率 F ≤ 20Hz ,信号最高频率 f c = 2kHz 。

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① 试确定最小记录时间 T p min ,最少采样点数 N min 和最大采样间隔 Tmax ; ② 要求谱分辨率增加一倍,确定这时的 T p min 和 N min 。

解:① Tp min = 1 2f 1 = 0.05s , N min = c = 200 , Tmax = = 0.25ms ; F F 2 fc ② F = 10Hz , T p min = 0.1s , N min = 400 。

2、设 X ( k ) = DFT [ x(n )] , x( n) 是长为 N 的有限长序列。

证明 (1) 如果 x ( n ) = − x ( N − 1 − n ), 则X (0) =0 (2)当 N 为偶数时,如果 x( n ) = x ( N − 1 − n ), 则X ( 证明: (1) 0 X (0) = ∑ x ( n )WN = ∑ x(n ) = n =0 n=0 N −1 N −1 N ) =0 2 ∑ x(n ) − ∑ x( N − 1 − n ) n=0 n= N 2 N −1 2 N −1 N-1-n = m ⎯令 ⎯ ⎯⎯ ⎯→ = ∑ x ( n ) − ∑ x ( m) = 0 n=0 m=0 N N −1 2 r=0 N −1 2 r =0 N −1 2 N −1 2 证明: (2) N −1 N −1 j n N X ( ) = ∑ x ( n )WN 2 = ∑ x ( n )( −1) n = 2 n =0 n=0 ∑ x(2r ) − ∑ x(2r + 1) = ∑ x( N − 1 − 2r ) − ∑ x(2r + 1) r =0 r =0 N −1 2 N −1 2 N-1-2 r = 2 k +1 ⎯令 ⎯ ⎯⎯⎯ ⎯→ = ∑ x(2k + 1) − ∑ x(2r + 1) =0 k =0 r =0 N −1 2 N −1 2 3、FIR 滤波器的频域响应为 H (e jω ) = H g (ω )e − jθ (ω ) ,设 θ (ω ) = −τω ,τ为 N −1 ,N 为 2 滤波器的长度,则对 FIR 滤波器的单位冲击响应 h(n)有何要求,并证明你的结论。

解:单位冲击响应 h(n)应满足 h(n)=h(N-1-n)

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tg (ωτ ) = sin(ωτ ) = cos(ωτ ) − ∑ h( n ) sin(ωn ) N −1 ∑ h(n) cos(ωn) n =0 N −1 n=0 n=0 N −1 得 ∑ h(n) cos(ωn) sin(ωτ ) − ∑ h(n) sin(ωn) cos(ωτ ) = 0 n =0 N −1 ∑ h(n) sin((τ − n)ω ) = 0 n =0 N −1 正弦函数在 n=τ处奇对称,即以 τ为 对称,即 h(n)=h(N-1-n) 。

4、已知模拟滤波器传输函数为 H a ( s) = N −1 N −1 为中心奇对称,所以 h(n)关于 偶 2 2 5 ,设 T = 0.5s , s + 3s + 2 2 用双线性变换法将 H a ( s ) 转换为数字滤波器系统函数 H ( z ) 。

解: H ( z ) = H a ( s ) s = 4 1− z −1 = 1+ z −1 5 + 10 z −1 + 5 z −2 0.1667 + 0.3333z −1 + 0.1667 z −2 = 。

30 − 28 z −1 + 6 z − 2 1 − 0.9333 z −1 + 0.2 z − 2

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