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古印度与中西亚阿拉伯国家的数学发展

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古印度与中西亚阿拉伯国家的数学发展 讲述印度与阿拉伯国家的数学发展历程,详细描述其中发表的主要著作 关键词:数学传统 数学发展 印度数学 一.印度数学 1. 印度历史与印度数学概述 印度文明可远溯到四、五千年以前。

从本世纪 20 年始,考古学家先后在印度河流域 发现了不少远古城市和村落遗址。

摩亨佐·达罗是最重要的一座城市遗址,它保存着印度最 早的历史遗址。

这一遗址清楚地显示出城市的营建是有规划的,市区的布局井井有条,有布 满城市的排水系统。

这说明,这里同古代东方一些地区一样有着较先进的文化。

从当时农业 生产发展和土木工程建设水平看,其时应该已掌握一些计算和度量衡方面的知识。

2. 印度的数码与算术 印度大约在公元前 3 世纪开始有了数的记号,但在不同地区和不同世纪,数的写法不断 有所变化,经过上千年的演变,才形成近现代形式的写法。

根据已发现的碑刻、手稿等文化 资料, 可将印度古代数目字辑成一表。

印度早起虽然用单独记号表示数, 但还没有零的记号, 也没形成位值制记数法。

像二十、三十这样的数,在早期也只是用一个独立的记号表示。

印 度人虽然很早就用十进制记数,但位置法的采用却是到五、六世纪才开始的。

公元六、七世 纪确立了使用十进制位置制的数码记数法后, 不久便传入阿拉伯国家, 经阿拉伯人又传至欧 洲,这种数码又经过演变,遂成为现在这种形式。

3. 印度的代数 印度数学家对代数做出过重要贡献。

印度人用缩写文字和一些符号来描述运算,对解决 代数学问题起了很大作用。

他们通常用并列表示加法,减法是在被减数加个点或“+”号; 其它运算用文字缩写表示,如乘法是因子后面写“bha” ;ka 表示其后的数开平方,它来源 于 karana 这个字;波罗摩笈多用 ya 表示未知数。

仅含一个未知数时,也常用符号“O”表 示。

已知的整数,前面一般冠以 ru。

当未知量多于一个时,用各种颜色名称的第一个音节 表示,如第二个未知数就可用 ka 表示, 。

直到两千年前,印度人还使用由横划组成的数字。

后来,他们开始用干棕榈叶做写字的 材料,并且发展了草体书法,于是由一到九的各不相同的数字符号就这样日趋成形了。

古印 度人也用美索不达米亚商人的算盘来进行计算, 每个数字符号都能很方便地表示算盘上任何 一行的石子数。

印度人新的数字符号要是到此为止不再发展,那意思就不大了。

事实上,ZZ 只能表示 在任意两行沟里的两个石子,它可以是 22,也可以是 202、2020 等等。

这就是说,人们不 仅要知道沟里有几个石子,还要知道它们各在那一行里。

不知什么时候什么人,在前人智慧和成就的基础上,总结出了这样一个办法:用最右面 的数字表示个位行里的石子数,左面相邻的数字表示十位行里的石子数。

其它则以此类推, 用点表示空行。

这样,ZZ 就只表示 22,Z.Z.就只表示 2020,而没有其它的意思了。

表示 空位的“.” ,后来改用“0”代替。

有了这个记数法, 人们就可以用同一个符号记录算盘上任何一行上的同一个数字, 简单 清楚,书写方便。

印度记数法的最大优点是能用数字来进行计算,这是一个了不起的进步! 我们知道,古老的书写系统,包括埃及的、巴比伦的、希腊的、罗马的都是用不同的符 号来表示算盘上不同行里的相同的石子数,不像我们今天可以用同一个“1” ,在不同的数位

上表示一、十和一百。

因此每一位行都得用不同的加法表相乘法表,用它们做笔算或心算是 很麻烦的。

如果只有九个不同的符号,其中每一个都可以表示任何一行的石子数,零表示空 行,那每一行上的计算就都是一样的了。

这样,人们只要掌握一个表就行了,好懂、好背、 好用。

相邻两位数码混淆,采用了纵横相间的办法,而是每一行的加法表和乘法表,一直都是 一样的。

印度人创造的这套数码 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,是对数学知识的非常宝贵的 贡献!它很快就引起了计算艺术的革命。

印度数学家还研究了分数,并且能象我们今天这样书写它们。

到公元五百年,伏拉罕密 希拉能通过计算,预告行星的位置;阿耶波多论述了确定平方根的法则,给出了圆周率的近 似值为 3.1416。

公元七世纪初期, 伊斯兰教的创始人穆罕默德统一了整个阿拉伯地区。

他死后的三百多 年间,他的门徒带着这种新教,往西经过整个北非,进入西班牙和葡萄牙;往东越过印度河 进入了亚洲的广大地区。

大约在 762 年,穆斯林们建立了帝国首都巴格达城。

四十年后,它成为世界著名的学术 中心,就象希腊和罗马时期的亚历山大城一样。

在公元八百年到九百年这一个世纪里, 东西方的知识在巴格达得到了交流。

东方来的商 人和数学家带来了新的数字符号, 印度算术和中国的算学成就; 从西方选出来的异教徒带来 了亚历山大强盛时期的科学著作,其中包括天文学和地理学的论文,还有欧几里得几何学。

穆斯林学者把这些著作译成了阿拉伯文。

穆斯林的天文学家发展的制图学, 远远超过了亚历山大时期的水平。

在巴格达的学校里, 三角学盛行起来。

由于掌握了印度的新算术, 穆斯林数学家能更为完满地研究和应用欧几里 得和阿基米得的几何学成就。

航海家装备和改进了航海设备; 地理学家也有了新的更好的大 地测量工具。

穆斯林世界的科学技术,取得了很高的成就。

公元一千年, 古罗马帝国的大部分地区被置于穆斯林的之下。

在西班牙的穆斯林大 学里,学生们可以学习希腊几何学、印度算术、天文学、三角学和地理学,而这些科学,巴 格达学者都作了很大的改进。

从十二世纪开始,穆斯林世界的科学知识逐渐传到欧洲各地。

到了公元一千四百年,意 大利、 法国、 德国和英国的商人们开始使用新数字, 教授新算术的学校开始在整个欧洲兴起。

半个世纪后,渐渐有了印刷术。

算术教科书和航海历是主要的印刷品。

新数字从一个地方传到另一个地方, 常常一方面变形走样, 一方面又保持着九个符号和 一个零的样式。

但是,如此先进的数字也并不是一开始就能在所有地方被接受的。

十三世纪 时,一项法令禁止佛罗论萨的银行业者使用新数字。

一百年后,意大利的派丢厄大学还坚持 书籍的价格表必须用罗马数字。

直到十五世纪末, 印度数字才在西欧的航海和商业中普遍使 用。

几个世纪后,虽然还有人坚持用算盘和计算板上的计算方法,但是越来越多的人热衷于 学习新算术了。

在早期印刷出版的教科书中, 不少列表和解决加减乘除问题的简便方法, 现在虽然已经 成为博物馆里的东西了,但是这些教科书把新的简写符号,比如“十、—”等引进算术中却 是十分重要的, 尽管这些符号最早很可能是表示包裹超重和缺重用的, 不是数学上的有意的 发明。

由于这些符号显示了作用,随后,另一些符号“×、÷、∴、=” ,也逐渐被引了进 来。

对于我们现在用代数求解的某些问题, 印度和穆斯林的数学家也早就发现了解它们的妙 法, “代数”一词就是阿拉伯语。

但是穆斯林数学家那时讲授的代数和我们现在学的代数是 不一样的。

他们的代数式都是文字写的,唯一的简写的符号是表示平方根的符号。

代数学大约到十七世纪初才逐渐形成。

下面我们来作一个简单的题目, 看看代数学是怎 样变化发展的:题目:一个数,乘以 2,除以 3,等于 40,问这个数是多少?印度和穆斯林 的数学家是这样解的:因为这个数的三分之二是四十,它的三分之一就是四十的一半,即二 十;又因为这个数是二十的三倍,得这个数是六十。

引进一些数学符号以后,早期的算法是 这样来求解的:(2×某数)/3=40,某数/3=1/2×40=20,某数=3×20=60。

我们现在的代数,以字母 n 代替了“某数” ,并且省去了乘号“×” 。

解法如下:2n/3= 40,n/3=20,n=60。

公元一千二百年的穆斯林教师肯定能给出解这类问题的法则,但是语句势必冗长繁琐: 如果你已经知道一个数,乘以第二个数,再除以第三个数,结果为已知的话,那么你就可以 把这个结果乘以第三个数,再被第二个数来除,把原数求出来。

现在,我们可以用 n 表示任意数,s 表示第二数,t 表示第三数,a 表示得数,如果 sn/t =a,那 n=ta/s。

写成这样的形式,法则就一目了然,清楚好记了。

阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。

(一)花拉子米(约 783-850) :花拉子米是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学 家。

1《代数学》 (1)确立《代数学》名称; (2)探讨问题的一般解法; (3)确立代数学的主要对象:方程。

2《印度计算法》 系统介绍了印度数码和十进制记数法,以及相应的计算方法。

(二)奥马.海亚姆(1055-1092) :11C 用圆锥曲线解三次方程 另外:纳西尔·丁和阿尔·卡西给出了开告辞方程的一般性算法 (三)三角学与几何学 继承并推进了希腊的三角术,对希腊几何的翻译与保存,并传给了欧洲 1 更高精度的三角函数表的编制:海拜什·哈西卜,比鲁尼 2 对希腊三角学系统化:阿尔·巴塔尼创立了系统的三角函数术语,芬克引入正割和余 割,艾布·瓦法和比鲁尼丰富了三角公式 特点:追求三角的算术性 3 对第五公设的关注 参考书目:中外数学史教程 主编:李迪 新华印刷厂 1993 年 6 月第一版 经典英语谚语 100 句 1. All rivers run into sea. 海纳百川。

2. Look before you leap. 三思而后行。

3. There are two sides to every question. 问题皆有两面。

4. Practice makes perfect. 熟能生巧。

5. Practice what you preach. 言行一致。

6. Pride will have a fall. 教者必败。

7. In prosperity think of adversity. 居安思危。

8. Two heads are better than one. 一人计短,二人计长。

9. Well begun is half done. 好的开始是成功的一半。

10. Time and tide wait for no man. 岁月不待人。

11. Speech is silver, silence is gold. 雄辩是银,沉默是金。

12. As a man sows, so he shall reap. 种瓜得瓜,种豆得豆。

13. All good things come to an end. 天下没有不散的筵席。

14. Man proposes, God disposes. 谋事在人,成事在天。

15. Even Homer sometimes nods. 智者千虑,必有一失。

16. No competition, no progress. 没有竞争就没有进步。

17. It’s dogged that does it. 世上无难事,只怕有心人。

18. You can not eat your cake and have it. 鱼与熊掌,不可得兼。

19. Providence is always on the side of the strong battalions. 天助强者。

20. A friend in need is a friend indeed. 患难见真情。

21. A miss as good as a mile. 差之毫厘,谬以千里。

22. Actions speak louder than words. 行动胜于空谈。

23. Knowledge is power. 知识就是力量。

24. An idle youth, a needy age. 少壮不努力,老大徒伤悲。

25. Better late than never. 亡羊补牢,为时未晚。

26. Bitter pills may have wholesome effects. 良药苦口。

27. Do wrong once and you’ll never hear the end of it.一失足成千古恨。

28. Easy come, easy go. 来得容易,去的快。

29. Every man has his faults. 人无完人。

30. God gives the milk, but not the pail. 上帝赐牛奶,桶要自己买。

31. Art is long, life is short. 无生有涯,而知无涯。

32. Live and learn. 活到老学到老。

33. There is no royal road to learning. 学无坦途。

34. All roads lead to Rome. 条条大道通罗马。

35. From the sublime to the ridiculous is only a step. 荒谬离伟大只有一步。

36. Take time by the forelock. 要抓住时机。

37. Opportunity seldom knocks twice. 机不可失,失不再来。

38. People do not lack strength. They lack will. 人们不缺少力量,他们缺少意 志。

39. No pains, no gains. 不劳无获。

40. Where there is a will, three is a way. 有志者事竟成。

41. Seeing is believing. 眼见为实。

42. All that glitters is not gold. 闪光的未必都是金子。

43. Everything comes to him who waits.只要耐心等待,一切都会到来。

44. I am caught between the devil and the deep blue sea. 进退维谷。

45. Life means struggle. 生活就是斗争。

46. We are not born for ourselves. 人之有生,不为一己。

47. One man, no man. 个人是渺小的。

48. He who has knowledge has dignity and glory. 拥有知识,就拥有尊严与荣 耀。

49. If it were not for hope, the heart would break. 人靠希望活着。

50. Music is the medicine of the breaking heart. 音乐是医治心灵创伤的妙药。

51. He lives long that lives well. 活得好等于活的长。

52. Calamity is man’s true touchstone. 逆境是真正的试金石。

53. Beauty is but skin-deep. 外表美是肤浅的。

54. Clothes do not make the man. 人不在衣装。

55. Men may meet but mountains never. 人生何处不相逢。

56. He laughs best who laughs last. 谁笑到最后,谁笑得最好。

57. Let the world slide. 人世沧桑,顺其自然。

58. Anything for a quiet life. 悠然自在最难求。

59. He lives unsafely that looks too near on things. 人无远虑必有近忧。

60. A Light heart lives long. 静以修身。

61. Without respect, love cannot go far. 没有尊敬的爱情难以长久。

62. Manners make the man. 举止造人品。

63. A hero is nothing but a product of his time. 时势造英雄。

64. All for one, one for all. 人人为我,我为人人。

65. A trouble shared is a trouble halved. 两人分担,困难减半 66. Nothing comes out of nothing. 无中不能生有 67. The finest diamond must be cut. 玉不琢,不成器。

68. Everything must have a beginning. 万事皆有开端 69. He who would search pearls must dive below. 不潜深水不得珠。

70. The wish is father to the thought. 心有所欲,脑有所思。

71. Take little, but give much. 少索取,多奉献。

72. Only the selfless can be fearless. 无私才能无畏。

73. Little things please little minds. 胸无大志,事事称心。

74. A penny soul never comes to two pence. 心胸狭窄,一事无成。

75. Happy is the man who learns from the misfortunes of others. 能从别人的不幸中吸取教训的人是幸福的。

76. Good health is above wealth. 健康胜于财富。

77. Genuine knowledge comes from practice. 实践出真知。

78. Many hands make light work. 众人拾柴火焰高。

79. Sow nothing, reap nothing. 春不播,秋不收。

80. The highest towers begin from the ground. 万丈高楼平地起。

81. To err is human. 人非圣贤,孰能无过。

82. A burden of one’s choice is not felt. 爱挑的担子不嫌重。

83. Promise is debt. 一诺千金。

84. Constant dropping wears away a stone. 水滴石穿。

85. The force of the wind tests strength of the grass. 疾风知劲草。

86. Success belongs to the persevering. 胜利属于有毅力者。

87. Slow and steady wins the race. 稳扎稳打,无往不胜。

88. He that never climbed never fell. 只有不攀登的人才不会跌跤。

89. No way is impossible to courage. 勇士面前无险路。

90. Newborn caves are not afraid of tigers. 初生牛犊不怕虎。

91. The shortest answer is doing. 最简短的回答是行动。

92. Business is the salt of life. 事业是人生的第一需要。

93. Strike the iron while it is hot. 趁热打铁。

94. After a storm comes calm. 雨过天晴(苦尽甘来) 。

95. Misfortunes tell us what fortune is. 不经灾难不知福。

96. He goes far that never turns. 不回头的人走得远。

97. The best is often the enemy of the good. 要求过高,反难成功。

98. Quality matters more than quantity. 质比量重要。

99. Learning without thought is labor lost. 学而不思,白费力气。

100. Wasting time is robbing oneself. 浪费时间就是掠夺自己。

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