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应用高等数学等价替换公式

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应用高等数学 等价替换公式 应用高等数学等价替换公式 1、无穷小量: 设 lim f(x) lim g(x) 0 x  x0 x  x0 (1)若 lim x  x0 f(x)  0 ,f(x)是 g(x)的高阶无穷小 g(x) f(x)   ,f(x)是 g(x)的低阶无穷小 g(x) (2)若 lim x  x0 (3)若 lim x  x0 f(x)  c ,f(x)是 g(x)的同阶无穷小 g(x) f(x)  1 ,f(x)是 g(x)的等价无穷小 g(x) (4)若 lim x  x0 (5)若 lim x  x0 f(x)  0 ,f(x)是 g(x)的 k 阶无穷小 k g( x) 2、等价替换: 若 x→x0,f(x)~ f1(x) ,g(x)~g1(x) 则 lim x  x0 f (x) f(x)  lim 1 g(x) x  x0 g ( 1 x) 6、常用等价形式: 当 f(x)→0 时 (1)sinf(x)~f(x) (2)arcsinf(x)~f(x) (3)tanf(x)~ f(x) f(x) f(x) (4)arctanf(x)~ (5)In(1+f(x) )~ (6)ef(x)-1~ f(x) (7)1-cosf(x)~ 2 f( x) 2 1

应用高等数学 等价替换公式 (8)(1+f(x) ) -1~ α f(x) 二、函数的连续: 1、间断点: (1)第一类间断点:f-(x0) 、f+(x0)均存在的间断点 ⑴跳跃间断点:f-(x0)≠f+(x0) ⑵可去间断点:f-(x0)=f+(x0) (2)第二类间断点:f-(x0) 、f+(x0)至少有一个不存在的间断点 ⑴无穷间断点:f-(x0) 、f+(x0)中至少有一个为∞ ⑵振荡间断点:f-(x0) 、f+(x0)中至少有一个振荡不存在 三、导数: 1、定义: f (x) = △x  0 α lim f(x 0 △x)- f(x 0) △x 2、导数的常见形式: (1) f(x0) lim x x (2) f(x) lim (3) f(x) 0 f(x)- f(x0) x - x0 h 0 f(x0  h)- f(x0) h f(x0)- f(x0  h) h h 0 lim 3、切线方程: 若曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) ) , 则 y-y0= f(x0) (x-x0) 注: (1)如果 f(x0) =∞,则 x=x0 (2)如果 f(x0) =0,则 y=y0 4、法线方程: 若直线过点 P(x0,f(x0) ) , 则 y-y0=  1 (x-x0) f(x 0) 5、基本公式:   0 ( C) (1)   ax a -1 (xa) (2)   a xIna (a x) (3) 2

应用高等数学 等价替换公式   ex (4) (ex)   (log a x) (5)   (Inx ) (6) 1 xIna 1 x   cosx (sinx ) (7)   - sinx (cosx ) (8)   sec 2 x (9) (tanx )   - csc 2 x (10) (cotx )   secx  tanx (11)(secx )   - cscx  cotx (cscx ) (12)   (arc sinx ) (13)   (14) (arc cosx ) 1 1 - x2 1 1 - x2   (arc tanx ) (15) 1 1  x2 1 1  x2   (arc cotx ) (16) 6、四则运算: 和 都有导数   (1)(  )       c  (c) (2)        (3)(  )  (4)( )        (  0) 2 推论:   c  (c) (1) 3

应用高等数学 等价替换公式   (w) (2)  w   w  w     ws   ws  w  (ws) s  ws  (3) 7、反函数求导法则: 设 y=f(x)与 x=  (y) (   (y)≠0) 则 f(x) 1 1 或 y x= x  (y) y 8、n 次导的常见公式: (n) (sinx ) (1) = sin (x  n  2 ) (cosx ) (2) (n)  cos (x  n  2 ) ) ! n n -1 (n - 1 (3)[In 1  x ] = ( - 1) n ( 1  x) 9、参数方程求导: x  (t) 设函数  都可导,其中 x= (a  t  b),且x  (t),y  (t) y  (t) ≠0,则函数的导数  (t) 10、复合函数求导: 若 y=f(u) ,u=  (x) ,且 f(u)及  (x)都可导,则复合函数 y=f[  (x)] 的导数 dy  f(x)  (x) dx dy  dx dy dt dx dt   (t)  (t) 11、隐函数求导: (1)方程 F(x,y)=0 两边求导,解出 dy 或y dx (2)公式法:由 F(x,y)=0,则 F dy   x  dx Fy dy dx (3)利用微分形式的不变性,方程两边求微分,然后解出 4

应用高等数学 等价替换公式 注:y 是 x 的函数 12、对数求导: 将函数关系式两边取自然对数(成为隐函数形式) ,化简,然后两边两边求导, 最后两边乘以 y(x) 注:适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数(y=u(x)v(x) ) 13、高阶导数: (1)二阶导数: f(x) △x  0 lim f(x △x)- f(x) △x f(x △x)- f(x) △x (n - 1) (n - 1) f (x △x)- f (x) △x (2)三阶导数: f(x) △x  0 lim (n - 1) (4)n 阶导数: f (x) △x  0 lim 14、中值定理: (1)拉格朗日定理:若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ ,使得 f() f(b)- f(a) b-a 推论 1:如果函数 f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数 f (x) 都等于零,你 们函数 f(x)在(a,b)内是一个常数 推论 2: 如果函数 f (x ) 与g (x) 在区间(a, b) 内每一点的导数 f (x) 与 g (x) 都相等,则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数,即:f(x)=g(x) +C,x  (a,b) (2)罗尔定理:若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可 导,且 f(a)=f(b) ,则在(a,b)内至少存在一点ξ ,使得 f() 0 (3)柯西定理:若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可 导, 且 g(x) 0 , 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ , 使得 15、洛必达法则: 0 (1) 型: 0  () f(b)- f(a) f = g(b)- g(a) g() 设函数 f(x) 、g(x)满足: ⑴ lim f(x) lim g(x) x  x0 x  x0 0 0 ⑵在点 x0 的某去心邻域内 f(x)与g(x) 都存在,且 g(x) 5

应用高等数学 等价替换公式 ⑶ lim x  x0 f(x) 存在或为无穷 g(x) f(x) f(x) = lim g(x) x  x0 g(x) 有: lim x  x0 (2)  型:  设函数 f(x) 、g(x)满足: ⑴ lim f(x) lim g(x)  x  x0 x  x0 ⑵在点 x0=的某去心邻域内 f(x)与g(x) 都存在,且 g(x) ⑶ lim 0 x  x0 f(x) 存在或为无穷 g(x) f(x) f(x) = lim g(x) x  x0 g(x) 有: lim x  x0 (3)其他未定型: ⑴0·∞型:f(x)·g(x)转化成 f(x) 或 1 g(x) g(x) ,一般将 In、arc 留在 1 f(x) 分子上 0 ⑵∞-∞型:通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为 型 0 或  型  Inf(x) 1 g(x) ⑶ 1 、 0  、 0 型:f(x)g(x)=eg(x)Inf(x)= e 16、函数单调性判定: 设函数 y=f(x)在开区间(a,b)内可导 (1)如果函数 y=f(x)在(a,b)内,f (x) 0 ,则函数 y=f(x)在(a,b) 内单调递增; (2)如果函数 y=f(x)在(a,b)内,f(x) 0 ,则函数 y=f(x)在(a,b) 内单调递减; 17、函数的极值: (1)如果函数 y=f(x)在点 x0 及其左右近旁有定义,且对于 x0 近旁的任何一点 x(x≠x0)的函数值 f(x)均有: 6

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